قضایای گودل Godelیکی از دستاوردهای برجسته ریاضیات در قرن بیستم
سلام بر جانهای بیداری که تار و پودشان به قول فردوسی داد و خرد است. کمی پیش دوستی، آفتاب عمرش بر لب بام رسید و رفت که رفت. وقتی او را با چشمی اشکبار به خاک سپردم. گویی صدایش را می شنیدم.
کوس رحلت بکوفت دست اجل - ای دو چشمم وداع سر بکنید
ای کف دست و ساعد و بازو - همه تودیع یکدگر بکنید...
یعنی عاقبت از ما غبار مانَد و بس؟
میزبانش خاک به من زُل زده بود و با نم‌نم بارانی که می‌بارید، خیس اندوه شده، سکوت و حیرت مرا گرفت. به حافظ و عطار و کازانتزاکیس، و به شعر و خاطره و نیایش روآورم شاید آرام شوم نشد. عاقبت به «قضایای گودل» پناه آوردم و به چشمان زیبا و شنوایی که ایران را با همه زخمهایش دوست دارند.
...
گرچه قضایای گودل، در منطق ریاضی و فلسفهٔ ریاضی از اهمیت بسزایی برخوردارند، اما شرح دقیق و فرمول‌های ریاضی آن مورد علاقه همه نیست، ضمن اینکه هر سخن جایی و هر نکته مکانی دارد و می‌دانم آنچه تعریف می‌کنم غریب و نامأنوس است، کوتاه اشاره می‌کنم و امیدوارم خیلی خسته‌کننده نباشد.
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
▬ «کورت گودل» Kurt Gödel، یکی از شخصیت‌های مهم در تاریخ ریاضی و منطق که نیم قرن تلاش برای بنای ریاضیات بر مجموعه‌ای از اصول موضوعه را، که با «گوتلوب فرگه» آغاز شد و با اصول ریاضی «راسل» و فرمالیسم «داویت هیلبرت» و... ادامه داشت، ارتقا داد.
▬ گودل، با اِشراف به «اصول مابعدالطبیعی علوم طبیعی» کانت، در جلسات حلقهٔ وین با حضور رودلف کارناپ و هانس‌هان و موریتس شلیک، شرکت می‌کرد و وقتی کتاب «مقدمه‌ای بر فلسفه ریاضی» راسل را می‌خواندند، به منطق ریاضی علاقه‌مند شد. او به واقعیت‌گرایی در ریاضیات تمایل داشت و منطق ریاضی را علمی مُقدم بر علوم دیگر می‌دانست.
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
▬ قضایای گودل، در منطق ریاضی و مبانی ریاضی معاصر اثبات شده و از حدود یک قرن پیش تا کنون، مباحث زیادی را دامن زده‌اند. البته ریاضیات آن پیچیده است و کم نیستند کسانی که از آن سوء برداشت کرده اند. قضایای گودل یکی از دستاوردهای برجسته ریاضیات در قرن بیستم است.
▬ قضیه تمامیت گودل Godel,s completeness theorem یک قضیه اساسی در منطق ریاضی است که برای نخستین بار توسط وی در سال ۱۹۲۹ بر سر زبانها افتاد. البته بعدها لئون هنکین و گیسبرت هازن‌یگر، آن را ساده تر شرح دادند. توجه داشته باشیم که ریاضیات علم «اثبات» و «استدلال» است. در بین علوم مختلف ریاضیات دقیق‌ترین و بیشترین استفاده را از استدلال و منطق می‌کند.
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
▬ قضایای ناتمامیت گودل
قضیه اول: در تمام سیستم‌های مبتنی بر اصول بدیهی، سیستم‌های آکسیوماتیکِ عاری از تناقض و سازگار، گزاره‌هائی وجود دارند که نه اثبات‌پذیرند و نه می‌توان ردشان کرد.
قضیه دوم: سازگاری سیستم‌های آکسیوماتیک (مبتنی بر اصول بدیهی) را نمی‌توان از خود سیستم استنتاج کرد.
قضیه اول: در تمام سیستم‌های مبتنی بر اصول بدیهی، سیستم‌های آکسیوماتیکِ عاری از تناقض و سازگار، گزاره‌هائی وجود دارند که نه اثبات‌پذیرند و نه می‌توان ردشان کرد.
قضیه دوم: سازگاری سیستم‌های آکسیوماتیک (مبتنی بر اصول بدیهی) را نمی‌توان از خود سیستم استنتاج کرد.
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
زمینه‌ای که در آن قضایای گودل اثبات شدند، چی بود؟
▬ جامعه ریاضی در اروپای اواخر قرن ۱۹ و اوایل قرن ۲۰، به این فکر افتاد که مبانی ریاضیات روش منطقی و کار بر روی مجموعه مشخصات از اصول - را دقیق تر بیان کند و برای این منظور کارهای خوبی انجام شد ازجمله:
▬ بنیان منطق جدید توسط «گوتلوب فرگه» بنا شد که ایرادات منطق ارسطویی (منطق قدیم) را برطرف نمود و درواقع آنرا کامل کرد.
▬ نظریات مجموعه‌ها، توسط «گئورگ کانتور» ارائه گردید و اصل موضوعی آن که در ریاضیات معاصر به کار می‌رود، توسط Ernst Zermelo «ارنست زرملو» و «آبراهام فرنکل» به‌شرح‌تر، بیان شد.
▬ اصول موضوعی برای اعداد طبیعی توسط جوزپه پئانو، انتشار کتاب «راسل» و «وایتهد» که ادامه کار «فرگه» بود، انتشار «اصول ریاضیات»... همچنین انتشار مسائل داویت هیلبرت Hilbert,s problems شامل بیست و سه سؤال ریاضی، و اصول هیلبرت برای هندسه که نارسایی های کتاب اقلیدس را بر طرف کرد...
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
▬ بطور متعارف ما یک سری گزاره‌ها را بعنوان اصل (موضوعه) Axiome می‌پذیریم. سپس بر مبنای آن بر اساس استدلال منطقی به نتایجی می‌رسیم که آن را «قضیه» می‌نامیم.
▬ نمونه کامل روش استنتاجی و منطقی ریاضیات در یونان باستان و کتاب اصول اقلیدس است که اصول مشخصی در هندسه را بیان می‌کند و قدم به قدم قضایای مختلف هندسه را اثبات می‌کند.
- تعداد نامتناهی عدد اول وجود دارد.
- رادیکال دو، گنگ است.
- هر عدد، به عوامل اول قابل تجزیه است.
- از یک نقطه خارج از یک خط، یک خط و تنها یک خط می‌توان موازی با خط مفروض رسم کرد...
- اگر دو خط راستِ موازی با یکدیگر ، دو خط متقاطع را قطع کنند، آنگاه بر روی آن دو خط متقاطع پاره خط‌های متناسب ایجاد می‌شود.(قضیه تالس)
- در یک مثلث قائم‌الزاویه، همیشه مجموع مربع‌های دو ضلع، برابر با مربع وتر است. (قضیه فیثاغورس) و ازاین قبیل
▬ بعدها نیوتون کتاب «اصول ریاضی فلسفه طبیعی» را نوشت که عنوان و روش کتاب یادآور اقلیدس و اثر اوست. نیوتون چند اصل معروف فیزیک (اصول نیوتون) را می‌پذیرد سپس به کمک ریاضیات، [هندسه اقلیدسی و ریاضیات جدیدی که خودش ابداع کرده بود] بی نهایت کوچک‌ها، مشتق و انتگرال قدم به قدم نتایج فیزیکی مورد نظرش را می‌گیرد.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
▬ گودل در توضیحات خودش به «پارادوکس دروغگو» liar paradox اشاره می‌کند. «اپیمنِندِس» فیلسوف اهل جزیره کِرت یونان، یک بار گفته بود: همهِ اهالی کِرت، دروغگو هستند».
آیا می‌توانیم این موضوع را بپذیریم؟ اگر آری، دراین صورت، خود اپیمِندِس هم دروغگوست و در نتیچه حرفی که زده واقعی نیست. اما اگر بگوییم همه کرتی ها راست می‌گویند آنوقت همان گزاره نخست که «همه اهالی کرت دروغگو هستند» پیش می‌آید و داستان از اول شروع می‌شود!
▬ جمله زیر را در نظر بگیریم: «این گزاره غلط است.» اگر جمله فوق درست باشد پس، گزاره غلط است! ولی چنانچه غلط باشد پس، گزاره درست است! چرا؟ چون مستقیماً به خودش اشاره نموده، یک پارادوکس حل‌نشدنی ایجاد می‌کند. ولی اگر درست نیست و غلط هم نیست، پس چیست؟
▬ «قضایای ناتمامیّت»، پاسخِ گودل به پرسش مزبور است که به ناتمامیت ریاضیات اشاره دارند. گودل برخلاف دیوید هیلبرت، معتقد نبود که می‌توان ریاضیات را چنان پی‌ریزی کرد که پاسخ‌گوی تمامی قضایا و قوانین آن باشد. می‌گفت، اثبات ریاضی (استدلال منطقی) محدودیت‌هایی دارد و هر گزاره‌ای را نمی‌توان اثبات و یا رد کرد.
▬ گودل این مقوله را با کُذگذاری و به زبان ریاضی بیان کرد. شاید این موضوع بی معنی به نظر رسد، اما چنین نیست و همین باعث شد در اوایل قرن بیستم، گودل چیزی را کشف کند که ریاضیات را دگرگون کرد. کشف او به محدودیت‌های اثبات ریاضی مربوط بود.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
برگردیم به آغاز بحث که اشاره شد ریاضیات علم «اثبات» و «استدلال» است و اینکه در بین علوم مختلف ریاضیات دقیق‌ترین و بیشترین استفاده را از استدلال و منطق می‌کند.
▬ اثبات، یک استدلال منطقی است که برای مثال نشان می‌دهد چرا یک گزاره در مورد اعداد درست است. چنانچه گزاره‌ای در مورد اعداد درست باشد، ریاضیدانان باید قادر باشند آن را با یک اثبات اصولی تأئید کنند.
▬ اجزای سازنده‌ی استدلال‌ها، اصول نام دارند.
هر دستگاهی که بر پایه‌ی ریاضیات ساخته شده، از پیچیده‌ترین اثبات تا حساب مقدماتی، از اصول تشکیل شده است.
▬ از زمان یونان باستان، ریاضیدانان از این دستگاه استفاده کردند تا ادعاهای ریاضی را با قطعیت کامل اثبات یا رد کنند. اما وقتی گودل وارد میدان شد، چند پارادوکس منطقی تازه کشف‌شده، آن قطعیت را زیر سؤال می‌بردند.
▬ گودل گزاره‌های ریاضی و معادلات را به کدهای عددی تبدیل نمود تا یک ایده پیچیده ریاضی را بتوان به سادگی با یک عدد بیان کرد. با گزاره‌های ریاضی کُدگذاری‌شده. و کُدگذاری به ریاضیات امکان صحبت‌کردن در مورد خودش را می‌داد.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
▬ در پارادیم گودل، گزاره‌ها همچنان می‌توانند درست یا غلط باشند. اما گزاره‌های درست - در چارچوب یک مجموعه مشخص از اصول - باید اثبات‌پذیر یا اثبات‌ناپذیر باشند.
▬ اثباتناپذیری (قابل اثبات نبودن) یعنی شناسه‌هائی (هویت‌هائی، عناصری و یا اِلمان‌هایی) وجود دارند که گرچه تابع اصول نظریه اعداد طبیعی هستند ولیکن رفتاری متفاوت از این اعداد دارند. این گفته در مورد هر نظریه دیگری که بر پایه اصول اولیه فرضی (آکسیوم‌ها) بنا شده باشد نیز صدق می‌کند.
▬ اثبات‌پذیری (قابل اثبات بودن) یعنی استنتاج‌پذیر بودن از آکسیوم‌های نظریه (اصول اولیه فرضی) به کمک قواعد مربوطه. تفاوت اثبات‌پذیری تعریف‌پذیر است ولی اثباتناپذیری تعریف‌پذیر نیست. یعنی، گزاره می‌تواند درست (و یا غلط) باشد بی‌آن که بشود آن را اثبات کرد.
▬ «حقیقت» از نظر ریاضی تا پیش از گودل با اثبات‌پذیری درک و پذیرفته می‌شد. اما قضایای ناتمامیت او نشان دادند که «راستیِ (صدقِ» یک گزاره همیشه معادل با اثبات‌پذیری آن نیست. اساساً درست بودن یک گزاره الزاما به معنای اثبات‌پذیربودن آن نیست.
▬ گودل استدلال می‌کرد که گزاره‌های درست اثبات‌نشدنی در هر دستگاه اصولی وجود دارند. بیشتر ریاضیدانان این واقعیت جدید را پذیرفتند، اما برخی مخالف جدی آن بودند. قضایای گودل همانقدر که درهایی را بست، درهایی را هم باز کرد.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
▬ داشتن گزاره‌های درست اثبات‌ناپذیر، الهام‌بخش نوآوری‌های کلیدی در کامپیوترهای اولیه بود و امروزه، برخی از ریاضیدانان وقت‌شان را وقف شناسایی گزاره‌های اثبات‌ناپذیر، قابل اثبات کرده‌اند.
▬ شاید ریاضیدانان کمی از قطعیت را از دست داده باشند، اما به لطف گودل، آن‌ها می‌توانند ناشناخته‌ها را در قلب هر جستجویی برای حقیقت بپذیرند.
▬ گودل در قضیۀ اول خود نشان داد که هر سیستم سازگار با مجموعه اصول موضوعه محاسبه پذیر، که قابلیت بیان حسابی را دارند، هرگز نمی تواند کامل باشد.
▬ می توان گزاره ای ساخت و صدق آن قابل نشان دادن باشد، اما نمی‌توان آن را از قوانین صوری این سیستم استنتاج کرد.
▬ گودل در قضیه دوم خود، او نشان داد که چنین سیستمی نمی‌تواند سازگاری خود را ثابت کند، بنابراین مطمئناً نمی توان از آن برای اثبات سازگاری هر چیز قوی تر با قطعیت (یقین) استفاده کرد.
▬ مضمون و جوهر قضیه گودل این هم بود که حقیقت مطلقی که همه چیز را توضیح دهد دست نیافتنی است و هیچ تئوری نمی‌تواند همه چیز را به طور مداوم توضیح دهد. البته ما تئوری همه چیز را داریم ولی آن موضوعش جدا است. تئوری همه چیز، به دلایل گوناگون دست نیافتنی است. از جمله به این دلیل که نظریه نسبیت و نظریه کوانتوم، هنوز به وحدت نرسیده‌‌اند...
▬ ناروشنی‌ها در نظریه نسبیت و نظریه کوانتوم و نبود نظریه‌‌ی واحد نباید به‌حساب عملکرد قضایای ناتمامیت در فیزیک گذاشته شود. تاکنون هیچ نشانه‌ای که گویای تاثیر این قضایا در فیزیک باشد مشاهده نشده است.
▬ اضافه کنم که فرمالیسم و مفاهیم قضیه گودل، حالا کمتر استفاده می‌شوند که شرح آن در اینجا نمی‌گنجد.
▬ ازجمله جنبه‌های فلسفی قضایای گودل، تقلیل‌گرایی Reductionism (فروکاهی طبیعت اشیاء و رفتار پیچیدهٔ پدیده‌ها به اموری ساده) است.
▬ قضیه گودل نشان داد هر نظریه ریاضی که ارائه شود ناتمام خواهد بود. در نتیجه حقیقت ریاضی قابل تقلیل به یک نظریه مشخص نیست.
▬ قضیه گودل (ناتمامیت) برای نظریه‌های ریاضی است که شامل حساب باشند، و قابل کاربرد در نظریه‌هایی که در مورد پدیده‌های فیزیکی صحبت می‌کنند (حد اقل در صورت فعلی آن)، نیست.
▬ برخی این امکان را مطرح می‌کنند که شاید در مورد فیزیک هم وضع شبیه ریاضی باشد و برای هر نظریه فیزیکی پدیده‌هایی وجود داشته باشند که در آن نظریه قابل تبیین نیستند.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
▬ آلن ماتیسون تورینگ، دانشمند علوم کامپیوتر، از قضایای ناتمامیت گودل در نظریه محاسبات استفاده نمود و قضایای ناتمامیت گودل را به فرم آلگوریتمی در آورد. شاید کامپیوتری ایده‌آل بتواند آن را اجرا کند.
▬ گفته می‌شود با یاری آلگوریتم‌های برنامه‌ریزی شده در رایانه‌ها می‌توان مسائل گوناگون از حوزه‌های مختلف از جمله علمی و فنی را سریع و دقیق انجام داد. آیا این رایانه‌ها (ماشین‌ها) می‌توانند قضایای ناتمامیت گودل را هم دُور بزنند، آیا توان محاسبه، حل و به اثبات رساندن هر گزاره‌ای را دارند؟
از جمله کتابهایی که یه کورت گودل اشاره دارد، نمونه‌های زیر قابل تأمل است:
◄ Godel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid
«گودل، اشر، باخ: بافتهٔ گرانسنگ ابدی»
◄ Godel,s Disjunction: The scope and limits of mathematical knowledge
تفکیک [گسست] گودل: دامنه و حدود دانش ریاضی
◄ Godel,s Proof, Ernest Nagel James R. Newman
اثبات گودل
◄ Computability: Turing, Godel, Church, and Beyond
◄ George Boolos, A New Proof of the Gödel Incompleteness Theorem",
◄ Charlesworth, Arthur. A Proof of Godel,s Theorem
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
When Kurt Godel originally published his incompleteness theorem, in 1931, it came as a shock to the mathematical world, for it showed that in every consistent mathematical system there are statements the (un)truth of which can only be established by an appeal to mathematical intuition, not by rigorous proof within the system under consideration. Gödel also gave a formula by which such statements could be constructed for any consistent formal system. Later, Godel,s theorem was to play an important role in the so-called AI-debate, which centered on the question: can computers perform the same feats as the human brain or, more popularly, can computers think? Curiously, this question has been answered both with -yes- and -no- on basis of Godel’s theorem...
░▒▓ همه نوشته‌ها و ویدئوها در آدرس زیر است:
برای ارسال این مطلب به فیس‌بوک، آیکون زیر را کلیک کنید:
facebook